Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy,SA= 2 a 3 Gọi I là trung điểm của mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với SD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Kẻ I M ⊥ S D tại M Đường thẳng I M ⊂ m p P
ABCD là hình vuông ⇒ C D ⊥ A D mà S A ⊥ C D ⇒ C D ⊥ S A D
Ta có P ⊥ A D mà C D ⊥ A D ⇒ C D / / m p P
Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P
Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N
Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.
Tam giác SAD vuông tại A có d A ; S D = a 3 ⇒ I M = a 3 2
Tam giác IMD vuông tại M có M D = I D 2 − I M 2 = a 2 ⇒ S M S D = 7 8 ⇒ M N = 7 a 4
Vậy diện tích hình thang IMNP là S = I M . M N + I P 2 = a 3 2 . 1 2 . 7 a 4 + 2 a = 15 3 16 a 2
Chọn D
Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn a = 1.
Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox chứa đoạn thẳng AB, tia Oy chứa đoạn thẳng AD, tia Oz chứa đoạn thẳng AS. Khi đó: A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), S(0;0;2), D(0;1;0)
Vì M là trung điểm SD nên tọa độ là M 0 ; 1 2 ; 1
Ta có
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).
Suy ra
Mặt khác
1: BD vuông góc AC
BD vuông góc SA
=>BD vuông góc (SAC)
=>(SAC) vuông góc (SBD)
Đáp án A.
Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD ⇒ M N ⊥ A B M Q ⊥ A B .
Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.
Suy ra thiết diện của mặt phẳng α và hình chóp là MNPQ.
Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD ⇒ M Q = 3 a 2 .
MN là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ M N = S A 2 = a .
NP là đường trung bình của tam giác SBC ⇒ N P = B C 2 = a 2 .
Vậy diện tích hình thang MNPQ là S M N P Q = M N . N P + M Q 2 = a 2 a 2 + 3 a 2 = a 2 .